Unidad I: Progresiones.
Progresiones aritméticas y geométricas.
Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:
a1 , a2 , a3 , a4 , .............., an donde la diferencia entre cualquier par de números consecutivos es siempre constante, es decir, an - an-1 = d para todo n . El término d se llama diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1 : Es el primer término de la progresión.
d: Diferencia común.
n: Número de términos.
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,.........., a1 + ( n-1 )d. Como consecuencia de lo anterior, en una progresión aritmética, en la cuál la diferencia común es d y el primer término es a1 se tiene que el enésimo término se denota por a n = a1 + ( n-1 ) d.
Ejemplo 1
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cuál el primer término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo 2
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ........ .
Solución.
Se tiene que a1 = 10, d = -3. Se sabe que an = a1 + ( n-1 ) d. Por tanto, para n = 12, se tiene: a12 = 10 + ( 12 - 1 ) x ( - 3 ) , o sea que a12 = - 23.
Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:
a1 , a2 , a3 , a4 , .............., an donde la diferencia entre cualquier par de números consecutivos es siempre constante, es decir, an - an-1 = d para todo n . El término d se llama diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1 : Es el primer término de la progresión.
d: Diferencia común.
n: Número de términos.
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,.........., a1 + ( n-1 )d. Como consecuencia de lo anterior, en una progresión aritmética, en la cuál la diferencia común es d y el primer término es a1 se tiene que el enésimo término se denota por a n = a1 + ( n-1 ) d.
Ejemplo 1
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cuál el primer término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo 2
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ........ .
Solución.
Se tiene que a1 = 10, d = -3. Se sabe que an = a1 + ( n-1 ) d. Por tanto, para n = 12, se tiene: a12 = 10 + ( 12 - 1 ) x ( - 3 ) , o sea que a12 = - 23.
Suma de términos de una progresión aritmética. Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma: a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,.........., a1 + ( n-1 ) d , su suma se expresa como S n = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d +..........+ a1 + ( n-1 ) d . Se puede fácilmente demostrar que S n viene dada por la siguiente fórmula compacta:
S n =
.
S n =
.
1.3.3. Progresiones geométricas. Una progresión geométrica es una expresión de la forma a1 , a2 , a3 , a4 , .............. an y en donde la razón r de dos términos consecutivos cualquiera es constante, es decir, r = 
para 
es constante.
Hay que notar, que como consecuencia de la definición, en toda progresión geométrica se cumple que 
donde 
es el término situado en el lugar enésimo.
Suma de términos de una progresión geométrica. Dada una progresión geométrica con n términos de la forma 
, la suma que se denota por S n viene dada por: S n = 
Se puede demostrar fácilmente que S n viene dada por la siguiente fórmula compacta:
S n = 
con r # 1.
PROGRESIONES ARMÓNICAS.
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