Unidad III: Funciones exponenciales y logarítmicas.

Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en . 

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 

Teorema (Leyes de los Exponentes) 

Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  . 

6 . 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  . 

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

 . 

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

. 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que 

 . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.